摘要：我们介绍最近关于群在流形上作用的极限（极小）集的维数的新的结果。
(1). 双曲几何的一个非常经典结果是Fuchsian group在边界圆周上极限集或为全集，或Hausdorff维数小于1（由Beardon最早证明，并由Patterson-Sullivan理论发扬光大）。与何伟鲲，焦宇翔合作我们给出了这个结果的一个动力系统的证明，并将其推广到一般的圆周上实解析群作用。这一结果同时将[2018 Deroin-Kleptsyn-Navas Inventionae]极限集Lebesgue 0测的结果加强为极限集Hausdorff维数小于1。证明背后的关键机制是我们结合了分形几何，光滑遍历论以及复动力系统的方法建立了圆周上光滑随机游走与群作用的维数理论，并得到了非常多的应用。
(2). 双曲几何的另一个非常经典结果是Bowen 1979年关于曲面群在SL(2,C)表示作用的极限集（Quasi-circle）的Hausdorff维数刚性结果。在与李嘉伦，潘雯瑜合作，以及与李嘉伦，潘雯瑜，焦宇翔合作中（受启发于与杨文元的交流）我们得到了曲面群在SL(3,R)表示作用的极限集的Hausdorff维数局部刚性结果，并得到了令人意外的维数跳跃现象。其背后的机制是我们得到了SL(3,R)一般Anosov 表示的极限集的Hausdorff维数。其证明机制是：我们利用李群随机游走的理论和加法组合的工具得到了P(R^3)一些平稳测度的维数。利用几何群论的工具我们证明了平稳测度的维数可以逼近极限集的维数。
