数学科学公司工会会员风采系列——翩翩燕归来 | 专访袁新意教授
2020年1月，北大数学“黄金一代”成员之一的袁新意回到北大，任北京国际数学研究中心教授。他是新生代数学家中第一位在美国顶尖高校获得终身教职后回国的学者。他也是第一位获美国克雷研究所研究奖学金的华人。
袁新意于2003年本科毕业于kaiyun体育官方网站数学科学公司，2008年获得美国哥伦比亚大学数学博士学位。同年，他获得著名的Clay Research Fellow，在美国克雷研究所做博士后，2011年至2012年在普林斯顿大学任助理教授，2012年起在美国加州大学伯克利分校任助理教授，2018年7月起任副教授。袁新意的工作领域是数论和算术几何，主要的工作方向有两个：1.Arakelov几何和代数动力系统；2. 自守形式，志村簇与L函数。他在这两个方向都有突破性的工作，被认为是这两个方向的国际领军数学家。
袁新意老师2018年回北大访问期间摄于未名湖畔
一、来到数论“群山”脚下
多年以后，在初雪纷纷而落的北京，当袁新意望着数学中心院内的银色世界时，也许会想起父亲带他去镇上新华书店的那个遥远而火热的夏天。那时他的数学世界里没有Arakelov发明的精巧的相交理论，也没有Gross和Zagier揭示椭圆曲线有理点信息的深刻公式，但简单的四则运算和初等方程已经足够俘获一个懵懂少年的心。
和很多后来成长为优秀数学家的同辈一样，那时的袁新意也渴望在数学竞赛中证明自己的热爱，但他对数学的热切呼唤并没有立刻得到回应。在初一暑假那个火热的夏天，因为缺乏系统训练而屡次在数学竞赛中铩羽而归的袁新意终于下定决心，在镇上的新华书店买了一本竞赛教材并开始自学。艰苦的训练带来了丰硕的回报。初中数学联赛满分，高中一路入选国家队并顺利获得国际数学奥林匹克金牌，然后顺理成章地来到kaiyun体育官方网站数学科学公司。
本科是一段奇妙的旅程，在这期间，袁新意收获了新知，结识了好友，但也经历了迷茫和煎熬。新世纪前后，北大数学已经开启了针对员工的“加强版”培养模式，前沿报告、员工讨论班、员工科研等为同学们带来了精妙的前所未闻的数学知识，也启迪着他们的智慧，引导他们走上探索发现之路。这种“求知若渴”的高强度学习方式最终培养出为人称道的“黄金一代”，但对当时的袁新意来说，仰之弥高、钻之弥坚的历代数学家的思想结晶让他在欣赏的同时，也让他对自己能否胜任数学工作心生胆怯。
值得庆幸的是，这些高维向量丛中纷繁复杂的思想截面没有影响袁新意在“现实的底空间上”坚定前行的脚步。这个从湖北乡村走出来的阳光少年，凭借他个性中的执着和闯荡精神，熬过了困惑和GRE，抱着“至少看看别人是怎么做数学的”简单想法，三年本科毕业的袁新意远渡重洋，来到美国哥伦比亚大学，跟随张寿武老师学习数论。
“毕竟一个人的一生很长，用最年富力强的时光尝试实现自己的追求，并没有人们想象的那么奢侈。”袁新意用这句话来为自己的彷徨时代作注解。
在哥大，师长和同学的帮助、身边环境的熏陶给了他很大的触动，他意识到这就是自己想要的生活，而且相信自己完全有能力成为他们这样的人。安下心来的他，终于来到了数论群山的山脚下，开始攀登了。
二、“我可以吗？”可以！
纯粹数学之路是一条不平凡的路，在越过那个“点”，真正独立地作出一个令同行承认的成果之前，每个走在这条路上的年轻人对自己选择的这条路未免心存疑惑，袁新意也不例外。从本科时代起就有一个藏在他心底的疑问：我能在数学上做到满意吗？
袁新意老师2013年回国探亲期间摄于湖北麻城
员工时代的第一个研究问题往往对一个数学家意义重大。在张寿武老师的指导下，博士期间的袁新意首先关注的是Arakelov几何的相关问题，这个理论在70年代由Arakelov提出，最早的目的是为了求解丢番图方程。它将抽象的代数几何和复微分几何联系起来：微分几何里的曲率的积分在某种意义下可以被理解为相交数，自然可以和代数几何里面的相交数建立起联系。具体到求解丢番图方程上，一般我们考虑丢番图方程是考虑它的有理数解或整数解，但也可以在例如p进数、实数乃至复数集上观察它的结构。Arakelov几何就是把这些p进的性质和实数的乃至复数的性质拼接起来。后来Faltings集其中诸多思想之大成，最终证明了Mordell猜想，这使得Arakelov几何引起了广泛关注。再后来Gillet和Soule完整地建立了任意维数的Arakelov几何的理论，还以此工具证明了算术Riemann-Roch定理，成功地将微分几何中的Atiyah-Singer指标定理和代数几何中的Grothendieck-Riemann-Roch定理联系起来。
袁新意最初考虑的问题是将Arakelov几何应用到代数动力系统中，得到一个等分布的结果。这个问题是把萧荫堂的一个代数几何的结果推广到Arakelov几何中，这个结果在代数几何里是比较容易的，而他要做的是这个结果在Arakelov几何里的复杂得多的算术版本。在总结前人工作的基础上，他慢慢地将问题转化成一个复微分几何的问题。这个问题很凑巧是田刚利用L^2估计方法完成的一个早期工作的推广，但是L^2估计对不熟悉微分几何的他来说是难以逾越的障碍。
在经过大概半年的苦苦求索后，重要的一天出其不意地降临了。那一天，在又一次漫长而无果的探索过后，他向张寿武寻求建议。张寿武建议他去问复几何领域的专家萧荫堂这一步如何实现，因为碰巧萧荫堂第二天要去哥伦比亚大学作报告。为了向专家提出准确的问题，他当天反复检验整理自己的工作，直到鸡鸣月落。寂静总是伴随着夜晚，但灵感也往往随之生发出来。他突然意识到他不需要推广完整的证明，而只需要直接从田刚的结果出发，再用结果去证明加强的版本就行。些微的倦意瞬间被驱散，激动得难以自持的他立刻开始反复检查自己的思路是否正确。在激情燃烧的工作中，周围的一切似乎都淡去了，初升的太阳温暖着他，十年寒窗的辛勤探索在这一刻都变得意义非凡。阳光融化了曾经的困惑，给他留下了纯粹的拥有数学的幸福。
那一次深夜里的突破看似在一瞬之间，实际却是多年知识累积和日夜思索的结果。从员工向研究者的转变也自然而然地完成了。在本科时代就藏在袁新意心底的疑问现在终于有了答案。
三、向“最迷人的问题”前进
随着知识和技术的积累，袁新意渴望向更深刻的数论问题前进。数论中有很多迷人的问题，而最吸引他的则是BSD猜想。
BSD猜想可以被粗略地描述为建立椭圆曲线E的有理点集形成的有限生成Abel群的算数信息和与之相对应的Hasse-Weil L-函数L(E,s)在s=1的泰勒展开式的分析信息之间的联系。这是一个关于椭圆曲线上有理点结构刻画的深刻猜想，同时也被克雷数学研究所列为千禧年七大数学问题之一。数学家为了解决这个猜想发明了大量的数学工具，而Gross-Zagier公式就是目前推进BSD猜想证明的最有力工具之一。在上世纪50年代，Heegner通过超越方法得到了椭圆曲线上的一个有理点（即对应的方程的一个有理解），但是超越方法得到的这个解有着复杂的幂级数的形式，虽然它被证明收敛到了有理数，因而确实是一个有理点，但我们甚至不知道它是否只是平凡的挠解。Gross-Zagier公式就是通过利用L函数来检验这个解是否平凡的工具，因为它也反映了L函数与解的信息之间的关系，所以和BSD猜想有着很直接的联系。这种联系很快被数学家发现，在上世纪80-90年代，数学家利用Gross-Zagier公式解决了阶数为0和1的BSD猜想。
袁新意老师2018年在加州大学伯克利分校上课
袁新意对BSD猜想的热情来自本科时阅读的一本椭圆曲线的英文教材。当时的他还不太理解这个猜想的描述，但他已经暗暗地希望自己可以为这个猜想的解决做出贡献。可以实现青年时期梦想的人总是幸运得让人嫉妒，博士学位问题攻克后，他的技术能力和知识水平已经可以让他尝试挑战这个猜想了。更加幸运的是，他的导师张寿武老师除了Arakelov几何之外，也是Gross-Zagier公式领域的专家。于是他便转换兴趣，开始学习Gross-Zagier公式的相关应用和推广。恰好他本科和员工的同学，后来也成长为“黄金一代”的代表数学家张伟此时也在张寿武门下学习Gross-Zagier公式。于是研究的过程一如美好的昨日，“记得在哥大讨论班结束后我们从楼里出来，头顶是夜空清冷的月光，那种感觉，就跟本科时讨论班结束后我们深夜回宿舍时的感觉一样。”他和张寿武，张伟合作，证明了Gross-Zagier公式相关的一系列重要结果。 袁新意的另一个重要成果是和张寿武合作，证明了Colmez猜想的平均形式。“实际上另一组数学家Andreatta—Goren—Howard—Madapusi-Pera也独立地证明了这个猜想。”采访中，袁新意笑着补充。这个公式是关于带复乘的阿贝尔簇的Faltings高度的计算。猜想的原始版本过于困难，但是经过研究发现，可以把一些相关的项的Faltings高度加起来做一个平均，而这些相关的项是被同一个域所复乘的，这个平均值的计算就会容易很多。“我们在2008至2009年已经在这个问题上有所突破，完成了部分证明。不过当时没有看到这个平均Colmez猜想的应用，所以后半部分的证明就被搁置了。”后来到了2014至2015年，加拿大青年数学家Tsimerman在前人工作的基础上尝试证明另一个数论中的重要猜想：志村簇的André–Oort猜想，他的证明依赖于平均Colmez猜想。于是意识到这个定理具有重要应用的袁新意和张寿武再次合作，最终完成了全部的证明。
此外，袁新意还独立证明了全实域上的志村（Shimura）曲线的高度公式。志村曲线是模曲线的一种推广，它们都是一维的志村簇。志村曲线的高度被定义为一个实数，这个实数可以衡量曲线在算术范围内的复杂度。袁新意最终证明了志村曲线的高度可以表达为戴德金zeta函数在s=2处的导数，其中戴德金zeta函数是大家所熟知的黎曼zeta函数将有理数域换成代数数域得到的。这一工作推广了之前Kulda—Rapport—Yang在有理数域的志村簇上的公式，可以视为经典的Kronecker极限公式在现代算术几何里的延伸。
四、未来探求：从精密结构到新的理论
袁新意的一系列工作得到了国际同行的广泛认可，文章多次发表在数学界最顶尖的期刊（如Annals of Mathematics，Inventiones mathematicae）上。这是令很多数学家艳羡的成就，但对他来说，更让人兴奋的是这一系列工作背后的精密结构。上面提到的三个工作的证明可以被同一框架所概括：几何对象的高度（算术信息）可以用L函数的导数（分析信息）来表达。在他和张寿武、张伟合作进行Gross-Zagier公式的推广时，他开始逐步意识到这一点。而后在证明平均Colmez猜想和志村曲线的高度公式时，二者的关系则展现得更加完善。当他们考虑比较两组生成函数形成的模形式，其中一组描述志村曲线的点的算术相交数（即高度），反应几何对象的算术信息；另一组描述爱森斯坦级数的求导，给出了分析信息。这两组模形式作为幂级数会在很深刻的意义上表现出“几乎相等”的性质。比如取出两边在重要性意义下的主项，比较它们的对应项，这些对应项的相等性质（在不考虑余项的情形下）就会给出Gross-Zagier公式；而两边退化的对应项会给出平均Colmez猜想；另外高度退化的对应项会给出志村曲线的高度公式。这种结构性的深刻联系带来了很多数论中的公式和猜想，虽然它还没有被很明确地认识，但这种求之不得的美可能也是令袁新意沉醉其中的魅力所在。
数学中心院落外景
袁新意在Arakelov几何和Gross-Zagier公式相关领域都取得了不凡的成绩，但他并不满足，“我最关心的BSD猜想，现有的方法还是遇到了瓶颈。”如前所述，BSD猜想阶数0和阶数1的情形已经被较好地解决，但是对更高阶数的BSD猜想，现在几乎没有任何好的想法。于是袁新意渴望建立新的数学理论，虽然从数学的发展程度来看，目前BSD猜想还远未到被彻底证明的时机，但一方面出于自己的性格，他不太热衷于跟着别人的想法；另一方面Gross-Zagier公式虽然还有非常广泛而美妙的问题等待探索，但面对高阶BSD猜想已经比较吃力。
尾声
如同数学史上常常发生的那样，在数学工具因发展完善而慢慢放缓前进的步伐之时，新的数学也在呼之欲出。怀着对全新数学的期待，袁新意再次回到了曾经无比熟悉的燕园。在美国顶尖高校丰富的任教与研究的经历让他有很深的观察：哈佛、普林斯顿、伯克利等美国顶尖高校由于长期以来积累的学科优势，以及一些文化或制度方面的原因，师生都比较放松、自信，这种氛围对做研究来说是非常有利的，国内高校在这方面仍然存在差距。“但我们也在迎头赶上，国外顶尖高校的数学系规模普遍较小，而北大这边，新近众多高手的加盟让这里有了更多相互交流的可能性，在数论的研究方面逐步形成了某种规模优势。数论的各个分支的专家就在隔壁办公室，只需要敲个门便可以交流讨论。”袁新意对发展自己的全新数学充满了期待。
通过一系列定理的证明，笼罩在算术与分析桥梁上的细密网格已经罗织起来，而能否通过新的理论框架将整张大网一举提起呢？让我们静静地等待吧，袁新意所追求的新的数学，也许就会像燕园冬日的飞雪一样，在一个寂静的夜晚悄无声息地在他身旁飘落，等待着他轻轻捧起。
采访、撰文 | 季策
